Simplifier une fraction, c’est la remplacer par une fraction équivalente (égale) dont le numérateur et le dénominateur sont les plus petits possibles. Autrement dit, c’est diviser le haut et le bas par le nombre le plus grand possible.

Savoir simplifier une fraction nous permettra, entre autres, de :
- Mieux visualiser et comparer les grandeurs.
- Manipuler de plus petits nombres.
- Simplifier les calculs.
- Comprendre les pourcentages (%).

Cet exercice de simplification pose souvent problème. Cependant, cela devient beaucoup plus simple lorsque l’on visualise ce qu'est une fraction et comment elle fonctionne.

Petit rappel

Ce qu’il y a au dessus, c’est à dire au numérateur, représente le nombre de parts que l’on prend.
Ce qu’il y a en dessous, c’est à dire au dénominateur, représente le nombre de parts totales.
Si nous multiplions ou divisons le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre : nous obtenons une fraction équivalente (égale).
Nous ne divisons jamais par 0 !
Le signe '-' peut être déplacé où nous le voulons: $$\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}=\frac{a}{-b}$$ $$\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$$

Le Jeu

Objectif

Diviser le numérateur (haut) et le dénominateur (bas) d'une fraction par le plus grand nombre possible (domaine des nombres entiers). La fraction sera alors irréductible.

Exemples de simplifications

Outils (les trois premiers nous suffirons pour commencer)

  • $$\pmb{\frac{a}{a}=1}$$
  • $$\pmb{\frac{a \cdot b}{a \cdot c} = \frac{\cancel{a} \cdot b}{\cancel{a} \cdot c} = \frac{b}{c}}$$
  • $$\pmb{\frac{a}{b} \cdot c = \frac{a \cdot c}{b} = \frac{c}{b} \cdot a}$$
  • $$\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}$$
  • $$\frac{1}{\frac{b}{c}}=\frac{c}{b}$$
  • $$\frac{a}{1}=a$$
  • $$\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$$
  • $$\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$$
  • $$\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a\cdot c}{b}$$
  • $$\frac{\frac{b}{c}}{a}=\frac{b}{c\cdot a}$$
  • $$\frac{0}{a}=0\:,\:a\ne 0$$

Additions

Attention, si nous sommes en présence d'une addition dans la fraction, nous ne pourrons pas simplifier facilement (cf. additionner/soustraire les fractions).

Trouver la solution avec le PGCD


Le PGCD

Pour toujours simplifier au maximum une fraction, il suffit de trouver le plus grand commun diviseur, ou PGCD, de deux nombres entiers. Ce PGCD est le plus grand nombre entier qui divise les deux parties de la fraction.

Si nous cherchons le PGCD de 20 et de 30, nous pourrions lister tous les diviseurs (ou multiplications) possibles tombant sur chacun de ces nombres. Prenons le temps de le faire pour cette fois :

  • $$20 = 1 * 20$$
  • $$20 = 2 \color{green}{\textbf{ * 10}}$$
  • $$20 = 4 * 5$$
  • $$ $$
  • $$30 = 1 * 30$$
  • $$30 = 2 * 15$$
  • $$30 = 3 \color{green}{\textbf{ * 10}}$$
  • $$30 = 5 * 6$$

Ici, 10 est le plus grand nombre qui compose aussi bien 20 que 30 : c'est le PGCD.


Simplifier la fraction

Maintenant que nous avons trouvé notre PGCD, tout ce que nous avons à faire est de barrer les facteurs communs (voir outil #2) pour simplifier une faction avec ces deux nombres. Avec la fraction 20/30 : $$\frac{20}{30} = \frac{2 * \cancel{10}}{3 * \cancel{10}} = \frac{2}{3}$$


Cela revient exactement à diviser le numérateur et le dénominateur par ce nombre : $$\frac{20}{30} = \frac{\frac{20}{10}}{\frac{30}{10}} = \frac{2}{3}$$


Vérifier notre solution

Comme d'habitude, nous n'oublions pas de vérifier la solution. Pour cela, il nous suffit de multiplier le nouveau numérateur et le nouveau dénominateur par le PGCD pour voir si nous retombons bien sur la fraction originale.

$$ \frac{2 * 10}{3 * 10} = \frac{20}{30} $$ Nous retrouvons bien la fraction initiale.

Toujours trouver le PGCD avec Euclide

Pour toujours trouver le PGCD nous utiliserons l'algorithme d'Euclide. Pas de panique, ce n’est vraiment pas compliqué ! Il nous suffit juste de savoir diviser un nombre.

La procédure est la suivante :
- Effectuer la division euclidienne du plus grand nombre (noté a) de la fraction sur le plus petit nombre (noté b) et garder le reste (noté r).
- Tant que le reste est différent de 0, nous réitérons la division en remplacant a par b et b par r.


On pourra ainsi écrire : $$1053 = 81 \color{green}{\textbf{ * 13}}$$ $$325 = 25 \color{green}{\textbf{ * 13}}$$

Félicitations, nous pouvons maintenant simplifier nos fractions ! N'hésitez pas à visualiser vos frations, les simplifier autommatiquement et vérifier vos calculs avec notre robot Globo et ses explications.